数学跟踪辅导系列之一
编者按：随着同学们对考研复习的进一步深入，许多同学发现数学复习越来越困难，面对众多的知识点，繁杂的公式往往会不知所措。针对此种情况，海文校刊从四月份开始开设“考研数学复习跟踪辅导系列”，该辅导系列适合于考数（一）和考数（二）的同学，数（二）中不作要求的内容我们会特别指出，望广大考生关注。
（一）函数、极限、连续
Ⅰ. 概念
数列极限，函数极限，左极限，右极限，无穷小量，无穷大量，无穷小量的比较（高阶无穷小，同阶无穷小，低阶无穷小，等价无穷小），函数连续性，间断点。
Ⅱ.重要定理与公式、技巧
ⅰ.注意几个等价无穷小，在求极限时，往往利用等价无穷小可以使题目“柳暗花明又一村”。但是，在利用等价无穷小代换时，要注意以下两点：
◆加减运算不可以用等价无穷小代换；
◆乘除运算可以用等价无穷小代换来简化运算。例如:求极限 时,分子中的 不能用 来等价代换,而求极限 时,可以用 来代换 ,则有: ,再用 来代换 ,则原极限= .
◆当x 0时，以下几项与x等价：sinx , tanx , arcsinx , arctgx , ln(1+x) , ex-1;
◆当x 0时，1-cosx与 等价；
◆当x 0时， —1与 等价，例如： —1 与 等价；
ⅱ.注意以下几个极限：
◆ ；例如： 这个最常用最典型的公式就是这样推导过来的。
◆ （n为正整数）；
◆ ; ◆ ;
◆ （a>1, >0）; ◆ (a>1); ◆
◆ ; ◆ ; ◆ .
ⅲ.函数极限的求法:等价无穷小代换;夹逼定理;洛必达法则;利用重要公式: 和 ;变量替换法(即换元法);n项和(或积)( )的极限常转换成积分运算。另外还要注意各种方法的结合使用。
Ⅲ.好题精选
例题1.求极限 ；
解：设 ＝ ，则有： （ ），因此有： .
也即： .
又 ＝ .
＝ .
由夹逼定理有: ＝ .
例题2. 求极限 .（ ， ，• • • ， 均为大于0的数）.
解:设 中最大的为 , 则有 ( n个 )， 也即 ，又 ＝ ， ＝ ，所以有 ＝ .即 ＝ { }.
注意:要记住该结论，在很多题中可以套用该结论。例如：求极限 ，根据该结论可直接得出答案： 时， ， ＝1；
时， ， ＝x；
时， ， ＝ ；
类似的结论有: .(读者可以自己证明).
例题3.求极限: .
解:( + ) < < ( + ) ,
又 ( + ) = = = = .
= = = .
由夹逼定理有: = .
注意: n项和 ( )的极限常转换成积分运算,转换为定积分求解的条件是:
① 每一项都可以提出一个 .
② 提出 后每一项都可以用一个通项表示.
另外，还要注意： + 是等比数列求和，但公比为 >1，不能直接计算处该和式的结果。
求n项积( )的极限可利用对数恒等式将n项积转换成n项和的形式。
（二）一元函数微分学
Ⅰ. 概念
导数,导数的几何意义,左导数,右导数,微分,导数的运算法则.
Ⅱ.重要定理与公式、技巧
ⅰ.重要公式：基本求导公式（由于篇幅问题，恕不一一详述。）
高阶求导公式：◆ = .
◆ .
◆
◆ .
◆ .
◆ .
◆ .
微分中值定理：罗尔定理，拉格朗日中值定理，柯西中值定理。
ⅲ. ◆复合函数求导数 : 连锁法则
◆隐函数F(x,y)=0求导数 :
解法1.方程两边对x求导数,y的函数看作x的复合函数,用复合函数的连锁法则求解,各项的导数求完后将 的项移到等式一边,解出 即得导数.
解法2.公式法: F(x,y)=0, =
解法3:利用一阶微分形式不变性.对等式两边求微分,将 , 分别整理到等式得左右两边,求得的 即是所求结果。
◆参数方程求导数：直接根据参数方程 ， ＝
◆反函数求导：设函数 在 处可导，且 ，则其反函数 在相应的 处可导，且 ， ＝ .
◆分段函数求导数：在非分界点的导数按一般的方法来解,在分界点的导数用导数的定义来求解: , ,看 与 是否相等。
◆ 另外，还有幂指函数微分法，即通过对数恒等式处理。通用的解法是由 ,可变形为: ,
则有:
Ⅲ.好题精选
例题1.设 ，求 .
解：此题是三角有理式高阶导数的求解问题。一般的解法时把三角有理式通过积化和差转换为多项三角式的和。
＝
== =
有： .
例题2.设 连续，且 ，令 ，求 。
解：这是一道求分段函数导数的题目。
当 时， ，
＋ .
当 时， ，
＝ .
当 时， (一定要从定义入手)
＝ ＝ ＝1.
= = =1;
由 知： ；
